Die p-q-Formel ist ein Werkzeug um quadratische Gleichungen zu lösen.

Eine quadratische Gleichung der Form

\[
x^2 + p \cdot x + q = 0
\]

kann mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden:

\[
x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q }
\]

Hier sind zwei Videos zur p-q-Formel.

Die p-q-Formel kann auch helfen den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion f(x) zu finden.

Aus Symmetriegründen (Der Scheitelpunkt liegt zwischen zwei möglichen Nullstellen) liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts bei \(x_S = -\frac{p}{2} \) die y-Koordinate lässt sich dann mit der Funktionsvorschrift bestimmen. Der Scheitelpunkt liegt also bei \(S(-\frac{p}{2}|f(-\frac{p}{2}))\).

Beispiel:

\[f(x)=2x^2 + 4x - 10\]

Bestimmen der Nullstellen:

Funktion Null setzen und in die form \( 0 = x^2 +px +q\) bringen.
\[0=2x^2+4x-10 \qquad |:2\]
\[0 = x^2+2x-5\]
p und q ablesen:
\[p=2 ; \qquad q=-5 \]
Einsetzen in die Lösungsformel \(x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q }\)
\[x_{1/2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-5) }\]
\[x_{1/2} = -1 \pm \sqrt{1+5} \]
\[ \mathbb{L} = \{ -3,45 ; 1,45 \} \]
(gerundet auf zwei Kommastellen.)

Bestimmen des Scheitelpunktes

\[x_S = -\frac{p}{2} \]
\[x_S = -1 \]
\(f(-1)\) bestimmen:
\[f(-1)=2\cdot (-1)^2 +4\cdot (-1) - 10 \]
\[f(-1)=-12\]
Der Scheitelpunkt liegt bei:
\[ S(-1 | -12) \]